Пусть некоторая область исследований представляется множеством G - генеральной совокупностью объектов изучения. Пусть для описания свойств объекта как целого используется набор характеристик X₁, ... , X_n,Y. Кроме того, пусть каждый объект может состоять из некоторых подобъектов различных типов T₁,…,Т_L. Каждому типу Т_l взаимно однозначно соответствует набор характеристик X_l,1, ... , X_l,nl, с помощью которых описываются свойства подобъектов данного типа. Обозначим множество значений характеристики X_j через D_j, j=1,...,n, множество значений характеристики Y через D_Y, а множество значений характеристики X_l,j через D_l,j , l=1,...,L, j=1,...,n_l. Будем полагать, что все характеристики – дискретные с упорядоченным или неупорядоченным множеством значений. В случае, когда некоторое свойство измеряется в количественной шкале, соответствующая характеристика получается разбиением интервала изменения свойства на подынтервалы.

Структуру произвольного объекта a будем задавать в виде дерева A, в котором корневой вершине V соответствует объект в совокупности его подобъектов. Вершине V_l первого яруса соответствует определенный тип T_l подобъектов, lI {1,...,L}, где L - число данных типов. Каждой вершине V второго яруса дерева A, смежной с вершиной V_l, где m=1,...,N_l , соответствует m-й экземпляр подобъекта a, относящийся к l-му типу.

Статическим назовем такой тип, подобъекты которого всегда присутствуют в каждом объекте из G .

Динамическим типом назовем такой тип, подобъекты которого могут как присутствовать, так и отсутствовать в объектах из G .

Без ограничения общности можно предположить, что первые по порядку типы T₁,…,T_d – динамические, а следующие типы T_d+1,…,T_L – статические.

Рассмотрим также следующее ограничение. Будем полагать, что у каждого объекта могут присутствовать подобъекты не более чем одного динамического типа. Указателем типа назовем величину pI {0,1,...,d}, которая соответствует номеру данного динамического типа (p=0, если отсутствуют подобъекты какого-либо динамического типа). Будем полагать, что значение p зависит от x=X(a)=(X₁(a),..., X_n(a)) : p=p(x). Пусть , U₀,U₁, ...,U_d – разбиение D, (все U_i непустые), причем , где U_i,jI D_j –подмножество соседних значений в случае X_j – упорядоченной, либо любое подмножество значений, если иначе. Тогда положим p(x)=i тогда и только тогда, когда xI U_i, i=0,1,..,L. Обозначим x_l=(x_l,1,...,x_l,nl), =(x_l,j), l=d+1,...L, j=1,...,n_l;

, ,

D' =

Рассмотрим следующий пример задания структуры. Пусть G – множество погребальных сооружений на определенной территории. Рассмотрим набор характеристик, описывающих объекты из G : X₁ – пол погребенного, X₂ – возраст, Y – исторический интервал внутри эпохи; D_Y={поздний неолит, ранняя бронза}. В качестве подобъектов рассматриваются предметы погребального инвентаря, которые могут принадлежать, в частности, к следующим типам: T₁ – вооружение, T₂ – женские украшения, T₃ – предметы культа. Подобъекты, скажем, типа T₁ описываются характеристиками X_1,1 – вид вооружения, X_1,2 – материал изготовления и т.д. Можно считать, что типы T₁ и T₂ являются динамическими, а тип Т₃ – статическим. Указатель типа задается следующим образом: r(x₁,x₂)=0, при x₂=ребенок; r(x₁,x₂)=1, при x₁=мужчина и x_2? ребенок; r(x₁,x₂)=2, при x₁=женщина и x_2? ребенок.

Под основной задачей будем понимать построение модели влияния характеристик структурированного объекта на характеристику Y. В случае количественной Y это будет регрессионная модель, а в случае качественной характеристики – дискриминантная модель. Другими словами, требуется построить решающую функцию, которая позволяла бы по описанию произвольного объекта (включая его подобъекты) предсказать значение Y.

В процессе исследований наблюдатель формирует обучающую выборку объектов a= {a¹,...,a^N}, a^{iI G} и одновременно путем проведения соответствующих измерений значений характеристик получает набор наблюдений (таблицу данных) d(a).

Обозначим через x_jⁱ значение характеристики X_j, j=1,...,n, а через yⁱ – значение характеристики Y для объекта aⁱ,; через - значение характеристики X_l,j для m-го экземпляра объекта aⁱ, имеющего тип T_l, где l=1,...,L, j=1,..,n_l, m=1,...,N_l. Пусть rⁱ=r(aⁱ), i=1,...,N. Пусть в таблице d(a) указаны нечеткие множества значений переменных для объектов, а также для их подобъектов. Задание данных нечетких множеств проводится путем указания соответствующих функций принадлежности при x_jI D_j, причем при ; при yI D_Y ; при x_l,jI D_l,j , lI {1,...,L} (все m I [0,1]).

"Еcли” (для r>0) и вида

(для r=0), где – разбиение U_r, – разбиение D_r , – разбиение соответственно на M, и непустых подобластей, причем все подобласти определяются аналогично U₀,U₁, ...,U_d декартовым произведением подмножеств значений характеристик, т.е.

, , r=0,1,...,L, t=1,...,M, q=1,..., (q=0 при r=0), v=1,..., . Пусть М' =M (“сложность” решающей функции).

Данный набор высказываний определяет некоторое отображение D' ® D_Y. Множество F всевозможных отображений, соответствующих разбиениям указанного вида и образует класс логических решающих функций. Критерий качества разбиения a определим по обучающей выборке так. Вычислим степень принадлежности каждого объекта aⁱ , вместе с его подобъектами, к областям разбиения:

, где , (), , , , , , , , = (для l=r,d+1,…,L).

Положим =, , yI D_Y.

Пусть Y – характеристика с неупорядоченным множеством значений (т.е. рассматривается задача дискриминантного анализа). Под критерием качества разбиения будем понимать величину

Q= .

Если Y – характеристика с упорядоченным множеством значений (т.е. рассматривается задача регрессионного анализа), то под критерием качества разбиения будем понимать величину

Q=.

Оптимальной логической решающей функцией из класса F при фиксированных M,, будем считать такую функцию, для которой величина Q минимальна.

Поясним смысл приведенных выше формул. Степень принадлежности объекта подобластям разбиения возникает ввиду неточности измерений и наличия нескольких подобъектов различных типов (соответствующие этим подобъектам нечеткие множества объединяются). Величина интерпретируется как "вес" значения y для соответствующей подобласти. Величина Q является аналогом ошибки классификации (оценки дисперсии) на обучающей выборке.

При прогнозировании Y для нового объекта a вычисляются степени принадлежности к подобластям разбиения . Затем определяются величины , которые выступают как степени принадлежности для каждого значения Y.

Таким образом, исходная задача сводится к нахождению логической решающей функции заданной сложности, минимизирующей значение критерия качества Q. Для этой цели можно применять различные приближенные методы дискретного программирования, в частности, описанный в работе [7] алгоритм построения оптимальной логической решающей функции, имеющей вид дерева решений.

1. Деревянко Е.И., Лбов Г.С., Худяков Ю.С., Бериков В.Б. и др. Компьютерная система анализа данных погребальных памятников эпохи неолита и ранней бронзы. В сборнике: “Интеграционные программы фундаментальных исследований” – Новосибирск: СО РАН, 1998, с. 135 – 143.
2. Борисов А.Н., Алексеев А.В. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений // М: Радио и связь, 1989. – 304 с.
3. Kruse R., Meier K.D. Statistics with Vague Data // Theory and Decision Library. Series B, Mathematical and Statistical Methods. – Dordecht-Boston, 1987.
3. Бериков В.Б., Викентьев А.А. Анализ неточной экологической информации в классе логических решающих функций. // Труды конференции "Математические проблемы экологии", ИМ СО РАН, Новосибирск, 1994, с.33-38.
4. Старцева Н.Г., Людвина Н.А. Регрессионный анализ для структурированного объекта // Докл. РАН. 1996, Т.346. N.5. C. 600-603
5. Ketterlin A., Gancarski P., Korczak J. Hierarchical Clustering of Composite Objects with a Variable Number of Components. In: “Learning from Data: AI and Statistics V. Edited by D. Fisher and H.-J. Lenz. Springer – Verlag, 1996. Pp. 229 – 238.
6. Lbov G.S., Berikov V.B. Recursive Method of Formation of the Recognition Decision Rule in the Class of Logical Functions // Pattern Recognition and Image Analysis, Vol 3, N 4, 1993, pp.428-431.